老齢厚生年金の受給権者が国会議員又は地方公共団体の議会の議員となったときは、その者は、速やかに、氏名や議員報酬の月額などを記載した届書を機構へ提出しなければならない。

正しい。厚生年金保険法施行規則32条の3第1項は、受給権者が国会議員等となったときの届出を速やかに行うものとしている。議員は在職老齢年金の対象となるため、その旨や議員報酬の月額等を届け出る必要がある。議員でなくなったとき（同規則32条の6）や議員報酬の額に変更があったとき（同規則32条の5）にも届出を要する。